有效挖掘题目中的隐含条件【高阶辅导】-白红宇

有效挖掘题目中的隐含条件【高阶辅导】

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发布时间：2019-06-18

本文共 5744 字，大约阅读时间需要 19 分钟。

前言

高中数学中的有些条件是隐藏的身份出现的，或许命题人就是想看看你有没有继续深造数学的天赋，下面尝试对常见的隐含条件的素材做以总结，以期望引起大家的注意。

区间的给定

例0求函数$f(x)$在区间$[a^2，a]$上的最大值，

分析：由于$a^2<a$，解得$0<a<1$，即题目内含了参数$a$的取值范围；

角的范围压缩

例1已知$\alpha\in [\cfrac{\pi}{4}，\pi]$，且$sin2\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$，求$cos2\alpha$的值；

分析：由$\alpha\in [\cfrac{\pi}{4}，\pi]$，则可知$2\alpha\in [\cfrac{\pi}{2}，2\pi]$，

又由于$sin2\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}>0$，则可知$2\alpha\in [\cfrac{\pi}{2}，\pi]$，则$cos2\alpha=-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$。

且由$2\alpha\in [\cfrac{\pi}{2}，\pi]$可以将范围进一步压缩为$\alpha\in [\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2}]$。

解后反思：利用三角函数值的正负或其大小，我们可以将角的范围进行压缩，其目的还是为了利用平方关系求值后方便取舍值的正负。

例2设$\alpha$、$\beta$都是锐角，且$cos\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$，$sin(\alpha+\beta)=\cfrac{3}{5}$，则$cos\beta$等于【】

$A、\cfrac{2\sqrt{5}}{25}$ $B、\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $C、\cfrac{2\sqrt{5}}{25}或\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $D、\cfrac{2\sqrt{5}}{25}或\cfrac{\sqrt{5}}{5}$

分析：由已知可得：$sin\alpha=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$cos(\alpha+\beta)=\pm \cfrac{4}{5}$，

若$cos(\alpha+\beta)=\cfrac{4}{5}>\cfrac{\sqrt{5}}{5}=cos\alpha$，则有$\alpha+\beta<\alpha$，

即$\beta<0$，这与$\beta$为锐角矛盾舍去，故$cos(\alpha+\beta)=-\cfrac{4}{5}$，

所以$cos\beta=cos[(\alpha+\beta)-\alpha]=cos(\alpha+\beta)cos\alpha+sin(\alpha+\beta)sin\alpha$

$=\cfrac{2\sqrt{5}}{25}$，故选$A$。

三角中的辅助角

例3【2018陕西省第三次质量检测文科数学第10题改编】

已知函数$f(x)=sin\omega x+acos \omega x(\omega>0)$的最小正周期为$\pi$，且函数$f(x)$的图像的一条对称轴是$x=\cfrac{\pi}{12}$，求函数$f(x)$的最大值。

分析：$f(x)=\sqrt{a^2+1}sin(\omega x+\phi)$，其中$tan\phi=a$，由最小正周期为$\pi$，可知$\omega =2$，

即$f(x)=\sqrt{a^2+1}sin(2x+\phi)$，又由一条对称轴是$x=\cfrac{\pi}{12}$，

则$2\cdot \cfrac{\pi}{12}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}$，求得$\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{3}(k\in Z)$，

令$k=0$，即$\phi=\cfrac{\pi}{3}$。则有$tan\phi=tan\cfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}=a$，故$f(x)_{max}=\sqrt{a^2+1}=2$。

解后反思：大多时候使用辅助角公式，我们只强调辅助角的存在性，而并不注重其大小到底是多少，但是有的题目中就需要我们求出这个辅助角的大小。

判别式使用

例4直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=\cfrac{\sqrt{3}}{2}t+m\\y=\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)$，设点$P(m，0)$，直线与曲线$C：(x-1)^2+y^2=1$交于$A、B$两点，且$|PA||PB|=1$，求非负实数$m$的值。

分析：将直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=\cfrac{\sqrt{3}}{2}t+m\\y=\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)$，代入曲线$C：(x-1)^2+y^2=1$，

化简为$t^2+\sqrt{3}(m-1)t+m^2-2m=0$，由$\Delta=3(m-1)^2-4(m^2-2m)>0$得到，$-1<m<3$，

又$m$为非负实数，故$0\leq m<3$，

设点$A、B$对应的参数分别为$t_1，t_2$，则有$t_1\cdot t_2=m^2-2m$，

由$|PA||PB|=1$，得到$|t_1\cdot t_2|=|m^2-2m|=1$，解得$m=1$或$m=1\pm \sqrt{2}$；

又由于$0\leq m<3$，故$m=1$或$m=1+\sqrt{2}$。

解后反思：本题目如果不注意$\Delta >0$的限制条件，就会出现增根$m=1-\sqrt{2}$。

例04在直角坐标系$xOy$中，直线$l$是过定点$P(4，2)$且倾斜角为$\alpha$的直线；在极坐标系中，曲线$C$的极坐标方程为$\rho=4cos\theta$.

⑴写出直线$l$的参数方程，并将曲线$C$的极坐标方程化为直角坐标方程；

⑵若曲线$C$与直线$l$相交于不同的两点$M、N$，求$|PM|+|PN|$的取值范围.

分析：⑴直线$l$的参数方程为$\begin{cases} x=4+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases}(t为参数)$，曲线$C$的直角坐标方程为$x^2+y^2=4x$；

⑵

法2：通法，将$\begin{cases} x=4+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases}(t为参数)$代入$C：x^2+y^2=4x$，

得到$t^2+4(sin\alpha+cos\alpha)t+4=0$，

则必然满足条件$\begin{cases} &\Delta=16(sin\alpha+cos\alpha)^2-16>0\\ &t_1+t_2=-4(sin\alpha+cos\alpha)\\&t_1\cdot t_2=4\end{cases}(t为参数)$，

由此得到$sin\alpha\cdot cos\alpha>0$，又$\alpha\in [0，\pi)$，

故压缩范围得到$\alpha\in (0，\cfrac{\pi}{2})$，又由$t_1+t_2=-4(sin\alpha+cos\alpha)<0$，故可知$t_1<0$，$t_2<0$，

则$|PM|+|PN|=|t_1|+|t_2|=-(t_1+t_2)=4(sin\alpha+cos\alpha)=4\sqrt{2}sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})$，

由$\alpha \in (0，\cfrac{\pi}{2})$ ，得到$\alpha+\cfrac{\pi}{4}\in (\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{3\pi}{4})$，

则$\cfrac{\sqrt{2}}{2}< sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4}) \leq 1$，

故$ 4\sqrt{2}\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}< 4\sqrt{2}\cdot sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4}) \leq 4\sqrt{2}\times 1 $，

即就是$|PM|+|PN|\in(4，4\sqrt{2}] $.

反思：本题目如果不注意$\Delta >0$，则$\alpha$的范围必然出错，从而导致取值范围出错。

不等式隐含条件

例05求$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0<x<2)$的最小值。

详解：注意到隐含条件$x+(2-x)=2，x>0，2-x>0$，则容易看到题目其实为

已知$x+(2-x)=2$，$x>0，2-x>0$，求$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0< x <2)$的最小值。

$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})\times 2$

$=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]$

$=\cfrac{1}{2}(1+4+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{4x}{2-x})$

$\ge \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{\cfrac{2-x}{x}\cdot \cfrac{4x}{2-x}})=\cfrac{9}{2}$

当且仅当$\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{4x}{2-x}$，即$x=\cfrac{2}{3}$时取到等号。

解后反思：本题目如果不注意$x+(2-x)=2$的限制条件，就不会将题目顺利转化为限定条件下的均值不等式求最值问题，使用其他的思路可能会非常麻烦。

恒过定点

在下面的博文中，有分门别类的恒过定点的总结，望仔细体会。

解不等式隐含条件

比如特别注意：$x^2\pm x+1>0$；$|x|\ge 0$；$x^2\ge 0$；$e^x>0$，$e^{-x}>0$

在具体题目中，

$\cfrac{e^x(2ax^3-3ax^2+2bx-b)}{x^2}=0$，可以等价转化为$2ax^3-3ax^2+2bx-b=0$

$\cfrac{e^x(x+1)(x-2)}{x}>0$可以等价转化为$\cfrac{(x+1)(x-2)}{x}>0$，

$\cfrac{x^2-4x+3}{e^x}>0$可以等价转化为$(x-1)(x-3)>0$；

已知性质推未知性质。

①熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

比如对称性+奇偶性$\Longrightarrow$周期性的变形例子

如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(2-x)=f(x)$，

则由$\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow$周期$T=4$

奇偶性+周期性$\Longrightarrow$对称性的变形例子

如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(x+4)=-f(x)$，

则由$\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow$对称轴是$x=2$

对称性+周期性$\Longrightarrow$奇偶性的变形例子

如，已知函数$f(x)$的周期是2，且满足$f(2+x)=f(-x)$，

则由$\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow$函数$f(x)$是偶函数。

②奇偶性、单调性和定义域来推导：$x>0$时，$f(x)>0$，

【2017天津高考卷】已知奇函数$f(x)$在$R$上是增函数，则有$x>0$时，$f(x)>0$，$f(0)=0$，$x<0$时，$f(x)<0$，